*** Datation au carbone 14

Contexte

La datation au carbone 14 est une méthode utilisée pour déterminer l'âge d'objets organiques, comme des fossiles ou des os. Elle repose sur le fait que le carbone 14 est présent dans l'atmosphère et est absorbé par les organismes vivants. Lorsque un organisme meurt, il cesse d'absorber du carbone 14, et celui-ci commence à se désintégrer à un rythme constant. La demi-vie du carbone 14 est de \(5~730\) ans, ce qui signifie que, au bout de cette durée, la moitié de la quantité de carbone 14 s'est désintégrée. Par ailleurs, le carbone se trouve principalement sous forme de carbone 12, atome stable dont l'abondance dans les organismes ne varie pas après leur mort

Il existe \(1\) atome de carbone 14 pour \(1~000\) milliards d'atomes de carbone 12.
En mesurant la quantité de carbone 14 restant dans un échantillon, on peut estimer combien de temps s'est écoulé depuis la mort de l'organisme.

Partie A : évolution de la masse de carbone 14 après la mort d'un organisme

On souhaite étudier l'évolution de la masse de carbone 14 présente dans un organisme qui, au moment de sa mort, en contenait \(15~\mu\text{g}\).
On note \((u_n)\) la suite dont le terme général représente la quantité, en \(\mu\text{g}\), de carbone 14 dans l'organisme \(n\) années après sa mort.
1. Donner \(u_0\) et \(u_{5~730}\).
2. Propriété Soit \(a\) et \(b\) deux nombres réels positifs et \(n\) un entier naturel non nul.
On a alors l'équivalence suivante : \(a^n=b\) équivaut à \(a=b^{1/n}\).
On suppose que la suite \((u_n)\) est une suite géométrique de premier terme \(u_0\) et de raison \(q\).
Déterminer la raison \(q\) de \((u_n).\) On arrondira le résultat à \(5\) chiffres après la virgule.
3. Déterminer la quantité de carbone 14 dans l'organisme au bout de \(5~000\) années, puis au bout de \(15~000\) années.

Partie B : d'après un article du journal Nature Communications

Dans une étude publiée dans le journal Nature Communications en 2022, des chercheurs ont analysé des échantillons de bois provenant du site viking de L'Anse aux Meadows, au Canada. L'analyse a révélé que ces échantillons contenaient environ \(71{,}5~\%\) de la quantité initiale de carbone 14.
Déterminer l'âge approximatif de ces échantillons.